A raiz quadrada de dois é um número Irracional

A raiz quadrada irracional e suas aproximações


Dado um número Natural $A >1$, raramente ocorre de $\sqrt{A}$ ser também um número Natural.
Provamos que $\sqrt{2}$ não é nem mesmo um número Racional, na Seção Primeiras observações sobre Números, Intervalos, Funções, Gráficos e Curvas do Curso Cálculo Diferencial em uma variável.
Por exemplo, $\sqrt{81} =9$ e $\sqrt{100} =10$ são Naturais, mas nenhum dos números
\[ \sqrt{82}, \sqrt{83}, \, \ldots \, ,\sqrt{98},\sqrt{99} \]
é Natural, nem sequer um número Racional.
Portanto é mais provável que no dia-a-a dia de um laboratório ou de uma empresa seja preciso aproximar os valores dessas raízes quadradas, do que saber que \[81 = 9^2\quad\mbox{e}\quad 100 =10^2\]
Imagine um período da História em que o "tablet" era uma tabuleta de barro. Essa era a época da Babilônia (de 1792 AC a 539 AC) e é de lá que vem um método bastante efficiente para aproximar qualquer raiz quadrada.

Neste post vamos:
1) explicar como os babilônios aproximavam o valor de raízes quadradas $\sqrt{A}$, para qualquer número $A >1$, usando apenas as quatro operações $+,-,\mbox{x},\mbox{/}$.
2) dar uma hipercalculadora que implementa esse método de aproximação, que é bastante eficiente.
Como $\sqrt{2}$ é a medida da diagonal do quadrado de lado $1$, a figura mostra uma tabuleta de barro com uma aproximação de $\sqrt{2}$:





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04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
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09 Raízes e fatorações de polinômios
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13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
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23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
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27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
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30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
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35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
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39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
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