Idéias que aparecem em diferentes lugares e épocas

Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton


No post Primeiras idéias combinatórias introduzimos os números combinatórios

\[\binom{n}{k} = \frac{n\cdot (n-1) \cdot \ldots (n-k+1) }{1\cdot 2 \cdot \ldots k },\quad \binom{n}{0} =1\]

que representam de quantas formas diferentes podemos produzir subconjuntos de $k$ elementos a partir de um conjunto de $n$ elementos.
Neste post vamos
i) explicar como os possíveis resultados de eleições se expressam em termos de números combinatórios;
ii) explicar como os números combinatórios aparecem nas chamadas fórmulas de binômios \[(a+b)^n,\quad n \in \mathbb{N}\]
iii) organizar os números combinatórios em um triângulo combinatório, que no Ocidente é associado a Pascal (1623-1662), mas que era conhecido em outras épocas e lugares;
iv) explicar que o que orgulhava Newton (1642-1727) era ter obtido expressões bem mais gerais, dos binômios
\[(1 + b)^r\]
onde $r \in \mathbb{R}$, desde que $| b | < 1$.




Cursos

Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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