A questão de saber quando há raiz dupla

Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas


Sabemos que as raízes de uma equação quadrática
\[x^2 + b x + c = 0\]
são
\[ x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 c}}{2} \]
Portanto, há uma raiz dupla quando seu discriminante $\Delta$ é nulo:
\[\Delta := b^2 - 4 c = 0\]

Se quisermos ir adiante no tema, duas perguntas naturais são:
Como detectar se existe uma raiz dupla (ou tripla) de uma equação cúbica como
\[ x^3 + b x^2 + c x + d = 0 \quad \mbox{?}\]
Para isso é preciso saber uma fórmula explícita para suas raízes ?

Neste post vamos:
i) mostrar que não é preciso conhecer uma fórmula explícita das raízes para detectar se há raízes duplas;
ii) justificar que, no caso da equação cúbica especial \[x^3 + c x + d = 0\] (sem o termo quadrático), há uma raiz dupla (ou tripla) quando seu discriminante se anula:
\[\Delta := 4 c^3 + 27 d^2 = 0\]

iii) justificar que, para a equação cúbica geral acima, há raiz dupla (ou tripla) quando:
\[{\small \Delta := (4 c^2 - b^2 c) \, c + 2\, (2 b^3 - 9 b c)\, d + 27 d^2 = 0} \]

iv) dar uma hipercalculadora que exibe uma família de equações cúbicas com raízes duplas (ou triplas).




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