Fazendo contas com matrizes e comparando com números

Operações com matrizes


As matrizes armazenam informações de forma organizada e são muito usadas em Engenharias e em Computação.
Podemos fazer várias operações com matrizes quadradas $n \mbox{x} n$, entre elas a soma e o produto.
Há muitas semelhanças entre soma/produto de matrizes e soma/produto de números. Mas há importantes diferenças.

Propriedades semelhantes às de números: Para $A$ e $B$ matrizes quadradas $n \mbox{x} n$, valem:
\[\begin{cases} A+ B = B + A \\ A + ( B + C )= (A + B ) + C\\
A \cdot ( B \cdot C ) = (A \cdot B ) \cdot C \\ A \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C \\ (A+ B ) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \end{cases}\]

Propriedades diferentes das de números: Para $A$ e $B$ matrizes quadradas $n \mbox{x} n$:
\[ \begin{cases} {\small\mbox{Pode acontecer}} \, A \cdot B \neq B \cdot A \\ {\small \mbox{Pode acontecer}} \, A \neq 0, B \neq 0 \, \mbox{mas}\, A \cdot B = 0 \\ {\small \mbox{Pode acontecer}} \, A \neq 0, \mbox{mas}\, A^k = 0\end{cases}\]
onde $0$ é a matriz quadrada que tem todas as entradas nulas e onde $k \in \mathbb{N}$.

Inversos de número e matriz: Um número $a \neq 0$ sempre tem inverso $a^{-1}$, tal que \[a\cdot a^{-1} =1\]
Uma matriz quadrada $A$ com determinante $\mbox{Det}(A) \neq 0$ tem matriz inversa $A^{-1}$, tal que \[A\cdot A^{-1} = I\]
onde $I$ é a matriz identidade (elementos na diagonal valem $1$; fora da diagonal, valem $0$).

Neste post:
i) usaremos hipercalculadoras para fazer todas essas operações com matrizes quadradas (de tamanho até $10 \mbox{x} 10$).
ii) usaremos alguns resultados para comprovar as diferenças entre operações com matrizes e com números.





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Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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