Método rápido de resolver sistemas de equações lineares

Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss


No post Intersecção de retas e planos e sistemas lineares associamos sistemas de equações a problemas geométricos.
Este post está dedicado a mostrar como resolver sistemas de equações lineares, de modo efetivo e rápido.

Seria ótimo se todos os sistemas de equações lineares a resolver fossem da forma
\[\begin{cases} x + 7 y = 2 \\ \quad - 8 y = 2 \end{cases}\]
ou
\[\begin{cases} x + 7 y + z = 2 \\ \quad - 8 y - 4 z = 2 \\ \quad \quad \quad \, 3 z = -\frac{7}{2} \end{cases}\]
pois eles estão praticamente resolvidos ! Basta ir lendo-os de baixo para cima.


As matrizes a seguir fazem um "raio x" desses dois sistemas (captam o essencial de suas formas):
\[\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 7 & 2 \\ 0 & -8 & 2 \end{array} \right]\]
\[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & -8 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -\frac{7}{2} \end{array} \right]\]
A maneira como os primeiros termos não-nulos de cada linha se organizam lembra uma escada; daí o termo matrizes escalonadas ou sistemas lineares escalonados.

Neste post vamos:
i) mostrar que é possível resolver sistemas de equações lineares de modo rápido, modificando-os para que fiquem em forma escalonada.
ii) dar hipercalculadoras que mostram o passo-a-passo do processo de escalonamento (para matrizes de tamanhos até $10 \mbox{x} 10$ )




Cursos

Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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