Um vestibular egípcio com soma de frações e mmc

Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo


Em seus cálculos, os antigos egípcios usavam a fração $\frac{2}{3}$ em combinação com as frações \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n},\quad n \in \mathbb{N}\]
No papiro de Rhind (c. 1500 A.C) há diversos problemas matemáticos que os candidatos a funcionários do estado tinham que conhecer.

Em um deles, se pergunta:
Como distribuir equitativamente $6$ pães para $10$ pessoas ? Em termos das frações que usavam, como expressar $\frac{6}{10} $ como uma soma de duas parcelas:
\[\frac{6}{10} = \frac{1}{m} +\frac{1}{n}\]

Nest post veremos:
i) que só há dois números $m,n \in \mathbb{N}$ que permitem essa escritura;
ii) que somar frações com diferentes denominadores envolve o mínimo múltiplo comum ou $\mbox{mmc}$;
iii) que há um modo rápido de determinar $\mbox{mmc}$, mesmo quando os números $m, n$ são grandes;
iii) uma hipercalculadora para determinar $\mbox{mmc}$ de listas de números.




Cursos

Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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