Sistemas de equações polinomiais em duas variáveis

Geometria analítica, de Descartes a Groebner


Foi Descartes (1596-1650) quem teve a idéia de associar aos objetos geométricos suas equações polinomiais.

Isso parece natural para nós, mas Apolônio de Perga (c. 300 A.C. ) escreveu um magnífico Tratado sobre Cônicas sem nenhuma equação.
Na Geometria Analítica de Descartes, intersectar dois objetos geométricos corresponde a resolver o sistema formado por suas equações.

No post Transformar problemas práticos em Matemática estudamos a intersecção de um gráfico com o eixo horizontal, ou seja, resolvemos 1 equação polinomial em 1 variável.
No post Intersecção de retas e planos e sistemas lineares estudamos a intersecção de retas e planos, ou seja, resolvemos sistemas de equações lineares.
Agora vamos discutir os primeiros casos da questão geral:
Problema geral: Resolver sistemas de equações polinomiais em mais de uma variável.

A dificuldade de resolver esse Problema geral é muito grande. Por isso foi importante o trabalho de Groebner (1899-1980), quem criou um método computacional para tentar resolvê-lo.
Nest post vamos:
i) intersectar algumas curvas planas de grau baixo (2 ou 3), ou seja,
ii) resolver sistemas simples de 2 equações não-lineares em 2 variáveis;
iii) ter hipercalculadoras para resolver sistemas não-lineares $2 \mbox{x} 2$;
iv) ter hipercalculadoras que implementam o método de Groebner.





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01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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