Sistemas de equações polinomiais em duas variáveis

Geometria analítica, de Descartes a Groebner

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Foi Descartes (1596-1650) quem teve a idéia de associar aos objetos geométricos suas equações polinomiais.

Isso parece natural para nós, mas Apolônio de Perga (c. 300 A.C. ) escreveu um magnífico Tratado sobre Cônicas sem nenhuma equação.

No post Transformar problemas práticos em Matemática estudamos a intersecção de um gráfico com o eixo horizontal, ou seja, resolvemos 1 equação polinomial em 1 variável.
No post Intersecção de retas e planos e sistemas lineares estudamos a intersecção de retas e planos, ou seja, resolvemos sistemas de equações lineares.
Agora vamos discutir os primeiros casos da questão geral:

A dificuldade de resolver esse Problema geral é muito grande. Por isso foi importante o trabalho de Groebner (1899-1980), quem criou um método computacional para tentar resolvê-lo.
Nest post vamos:
i) intersectar algumas curvas planas de grau baixo (2 ou 3), ou seja,
ii) resolver sistemas simples de 2 equações não-lineares em 2 variáveis;
iii) ter hipercalculadoras para resolver sistemas não-lineares $2 \mbox{x} 2$;
iv) ter hipercalculadoras que implementam o método de Groebner.

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