Uma prova visual da fórmula de volumes de pirâmides truncadas

Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios


Os antigos egípcios eram craques em Geometria. Por exemplo, sabiam que o volume de uma pirâmide de base quadrada $a \mbox{x} a$ e de altura $a$ vale um terço do volume do cubo de lado $a$:
\[V_{a,a} = \frac{a^3}{3}\]

A Interação a seguir mostra um cubo decomposto em até três pirâmides de mesmas medidas:

Não é tão fácil de ver um fato mais geral, também conhecido dos antigos, que vamos assumir:
O volume da pirâmide de base quadrada $a \mbox{x} a$ e de altura $h$ vale um terço do volume do paralelepípedo de base $a \mbox{x} a $ e altura $h$:
\[ V_{a,h} = \frac{h \cdot a^2}{3} \]

Há evidências no Papiro de Moscou (c. 1850 A.C.) de que os antigos egípcios conheciam a expressão do volume de pirâmides truncadas, como a que aparece em azul na figura a seguir:

Fórmula Egípcia: Uma pirâmide truncada, de base quadrada $a \mbox{x} a$, com teto paralelo e quadrado $b \mbox{x} b$ e de altura $h$ tem volume
\[V_{a,b,h} = \frac{h}{3} \cdot (a^2 + a b + b^2)\]

Note que, se a medida $b$ ficar muito pequena, então $V_{a,b,h}$ fica próximo de
\[ V_{a,h} = \frac{h \cdot a^2}{3}\]
Neste post vamos dar um argumento visual e concreto para justificar a Fórmula Egípcia.
Para isso, usaremos hipercalculadoras que decompõem as pirâmides truncadas em sólidos de volumes conhecidos.




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01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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