Um triângulo retângulo que sabemos de cor e infinitos outros

Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma tripla de Fermat



Os agrimensores egípcios sabiam traçar terrenos com ângulos retos, sem esquadros rígidos, apenas esticando uma corda.

Para traçar o ângulo reto, usavam uma corda com $12$ marcações iguais, que era esticada em três trechos. Pois sabiam que $(4,3,5)$ são medidas possíveis de lados de um triângulo retângulo:

Vamos chamar uma tripla de números Naturais como $(4,3,5)$ de tripla pitagórica, pois
\[ 4^2 + 3^2 = 5^2 \]

É dificil imaginar que os práticos agrimensores antigos tenham formulado um pergunta tão teórica como:
Quais são todas as possibilidades de triplas pitagóricas ? São em número finito ou infinito ?

Neste post vamos:
i) entender como Euclides determinou todas as triplas pitagóricas;
ii) visualizar várias opções de triãngulos retângulos com lados inteiros;
iii) observar que, apesar da infinidade de possibilidades do item i), não há sequer uma possibilidade de números naturais que verifiquem
\[a^3+ b^3 = c^3\]





Cursos

Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

Tópicos