A busca por algo que que não varie ao projetar uma figura

Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet


Os tamanhos mudam sob o efeito de uma projeção. Isso é que torna engraçada essa cena:

As proporções também mudam sob o efeito de uma projeção: por exemplo, o ponto médio $P_2$ do segmento $P_1 P_3$ (azul) pode ser projetado em um ponto que está no primeiro terço do segmento imagem (azul):

Já que tamanhos ${\small \overline{P_1 P_2}}$ e quocientes de tamanhos ${\scriptsize \frac{\overline{P_1 P_3}}{ \overline{P_2 P_3} } }$ mudam por projeções, que grandeza não muda sob projeções ?

Durante o ano e meio que esteve em uma prisão inimiga, o general Poncelet (1788-1867) pôde meditar sobre essa questão, enquanto via os feixes de luz que entravam na séla.

Ele (re)descobriu um quociente de quocientes que não muda sob projeções, base de uma nova Geometria das Projeções.
Neste post vamos apresentar e ilustrar esse invariante das projeções, chamado de razão cruzada.




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01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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