Um logaritmo com significado geométrico

Mirífico logaritmo

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No Ensino Médio costuma-se definir:

Por exemplo,
\[\log_{10}(1)= 0, \quad \log_{10}(10)= 1, \quad \log_{10}(100) = 2,\]
pois
\[10^0 = 1,\quad 10^1 = 10, \quad 10^2 = 100\]
Quando se aplica essa definição, por exemplo, a
\[\log_{10}(x) = \pi,\]
resulta que
\[10^{\pi} = x\]
Aqui há algo que não é tão claro: enquanto $10^2$ ou $10^3$ têm sentido claro, de repetições do fator $10$ em
\[10^2 = 10 \cdot 10\quad \mbox{e}\quad 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10,\]
nos perguntamos:

Nest post vamos:
i) definir o logaritmo natural $\ln(x)$ de modo geométrico;
ii) mostrar que essa definição verifica o que mais se quer de um bom logaritmo:

iii) ver que logaritmos em base $10$ (ou em qualquer outra base) podem ser definidos a partir do logaritmo natural.
iv) ter hipercalculadoras que mostrarão gráficos e aproximarão valores de logaritmos.

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