Um logaritmo com significado geométrico

Mirífico logaritmo



No Ensino Médio costuma-se definir:
O logaritmo em base 10 de um número $x>0$, \[\log_{10}(x),\] é o número $y$ tal que \[10^y = x\]

Por exemplo,
\[\log_{10}(1)= 0, \quad \log_{10}(10)= 1, \quad \log_{10}(100) = 2,\]
pois
\[10^0 = 1,\quad 10^1 = 10, \quad 10^2 = 100\]
Quando se aplica essa definição, por exemplo, a
\[\log_{10}(x) = \pi,\]
resulta que
\[10^{\pi} = x\]
Aqui há algo que não é tão claro: enquanto $10^2$ ou $10^3$ têm sentido claro, de repetições do fator $10$ em
\[10^2 = 10 \cdot 10\quad \mbox{e}\quad 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10,\]
nos perguntamos:
Qual o significado de $10^{\pi}$ ? Pois o número $\pi$ já não serve para contar quantas vezes repetimos o fator $10$.

Nest post vamos:
i) definir o logaritmo natural $\ln(x)$ de modo geométrico;
ii) mostrar que essa definição verifica o que mais se quer de um bom logaritmo:
\[\ln( x_1 \cdot x_2) = \ln(x_1) + \ln(x_ 2),\quad \mbox{para}\, x_ 1, x_ 2 > 0\]

iii) ver que logaritmos em base $10$ (ou em qualquer outra base) podem ser definidos a partir do logaritmo natural.
iv) ter hipercalculadoras que mostrarão gráficos e aproximarão valores de logaritmos.




Cursos

Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

Tópicos