Detectar erros em contas tediosas e fazer contas bizarras corretamente

Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss


Antes de existirem as calculadoras, um enorme esforço era dispensado às contas rotineiras, como por exemplo a soma
\[{\small \begin{cases} 2168102 \quad +\\ 456210213\, + \\ 25245045\,\,\, \, +\\ 4055032 \, \,\,\,\, = \\ 488678392 \end{cases}} \]
ou
\[{\small 4591 \cdot (728163451) = 3342998403541}\]
Mesmo com calculadoras, podemos errar longas digitações ou esquecer algum dígito em um copy/paste.
Neste post vamos:
i) explicar como detectar muito rapidamente que um dos dois resultados acima é falso;
ii) explicar a "regra dos noves fora", que os antigos usavam para detectar esse erro;
iii) explicar e implementar em hipercalculadora a aritmética de Gauss, que gera sistemas de números bizarros, em que pode acontecer, por exemplo,
\[[1] + [1] = [0]\]

Diz a lenda que o menino Gauss (1777-1855) apontava erros nas longas contas tediosas sua mãe fazia para controlar o apertado orçamento doméstico. Se lenda sobre o menino não for verdade, o certo é que aos 24 anos Gauss já tinha sistematizado muitas idéias sobre Aritmética:





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Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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