Detectar erros em contas tediosas e fazer contas bizarras corretamente

Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss

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Antes de existirem as calculadoras, um enorme esforço era dispensado às contas rotineiras, como por exemplo a soma
\[{\small \begin{cases} 2168102 \quad +\\ 456210213\, + \\ 25245045\,\,\, \, +\\ 4055032 \, \,\,\,\, = \\ 488678392 \end{cases}} \]
ou
\[{\small 4591 \cdot (728163451) = 3342998403541}\]
Mesmo com calculadoras, podemos errar longas digitações ou esquecer algum dígito em um copy/paste.
Neste post vamos:
i) explicar como detectar muito rapidamente que um dos dois resultados acima é falso;
ii) explicar a "regra dos noves fora", que os antigos usavam para detectar esse erro;
iii) explicar e implementar em hipercalculadora a aritmética de Gauss, que gera sistemas de números bizarros, em que pode acontecer, por exemplo,

Diz a lenda que o menino Gauss (1777-1855) apontava erros nas longas contas tediosas sua mãe fazia para controlar o apertado orçamento doméstico. Se lenda sobre o menino não for verdade, o certo é que aos 24 anos Gauss já tinha sistematizado muitas idéias sobre Aritmética:

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