O modelo de Poincaré para uma Geometria Não-Euclidiana

Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré

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No post Postulados como Regras de Jogos e a Geometria de Poincaré vimos que Poincaré (1854-1912) interpretou as noções de ponto e reta de um modo bem diferente, e que mesmo assim conseguiu satisfazer o seguinte:

Do dia-a-dia sabemos que uma uma noção central de geometria é a noção de paralelismo.
Temos uma intuição do paralelismo ao contruir uma janela corretamente:

Os pontos em cruz dessa esquadria trazem à mente uma fato da geometria:

Euclides estabeleceu como postulado que a reta $s$ é a única paralela a $r$ passando pelo ponto $P = s \cap r_1$.

Neste post veremos:
1) que o modelo de Poincaré satisfaz outros postulados euclidianos, porém não satisfaz o Postulado Euclidiano da Paralela.
3) que Postulado Euclidiano da Paralela é independente dos outros postulados euclidianos.

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