O modelo de Poincaré para uma Geometria Não-Euclidiana

Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré


No post Postulados como Regras de Jogos e a Geometria de Poincaré vimos que Poincaré (1854-1912) interpretou as noções de ponto e reta de um modo bem diferente, e que mesmo assim conseguiu satisfazer o seguinte:
Postulado Euclidiano: Dois pontos $P_1$ e $P_2$ determinam uma única reta $r$.

Do dia-a-dia sabemos que uma uma noção central de geometria é a noção de paralelismo.
Temos uma intuição do paralelismo ao contruir uma janela corretamente:

Os pontos em cruz dessa esquadria trazem à mente uma fato da geometria:
Dada uma reta $r$, construa uma reta $r_1$ ortogonal a ela e em seguida uma reta $s$ ortogonal a $r_1$. Então $s$ será paralela à reta inicial $r$.

Euclides estabeleceu como postulado que a reta $s$ é a única paralela a $r$ passando pelo ponto $P = s \cap r_1$.
Postulado Euclidiano da Paralela: Dados uma reta $r$ e um ponto $P$ fora da reta, existe uma única reta $s$ que passa por $P$ e que não intersecta $r$.

Neste post veremos:
1) que o modelo de Poincaré satisfaz outros postulados euclidianos, porém não satisfaz o Postulado Euclidiano da Paralela.
3) que Postulado Euclidiano da Paralela é independente dos outros postulados euclidianos.




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Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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