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Progressões aritméticas e geométricas


Neste post vamos estudar listas de números em que cada termo da lista é produzido segundo uma regra simples, a partir do termo anterior.
Chamamos de $x_1$ o primeiro termo, $x_2$, o segundo, etc, até $x_n$ o $n$-ésimo termo da lista.
Vamos discutir dois tipos de regras de formação.
Na primeiro, cada termo $x_n$ é formado somando ao anterior $x_{n-1}$ um número $r>0$ fixado:
\[\mbox{A)}:\quad x_n = x_{n-1} + r\]

No segundo tipo, cada termo $x_n$ é formado multiplicando o anterior $x_{n-1}$ por número $r>0$ fixado:
\[\mbox{G)}:\quad x_n = x_{n-1} \cdot r \]

O tipo A) é chamado de progressão aritmética; por exemplo, com $r=3$:
\[ 1, \, 4, \, 7,\, 10,\, \ldots \]
E o tipo G) é chamado de progressão geométrica; por exemplo, com $r=4$:
\[ 1, \, 4, \, 16,\, 64,\, \ldots \]
Neste post vamos:
i) explicar como o garoto Gauss fez em um segundo a soma de todos os 100 termos de uma progressão aritmética, para espanto do professor Buttner;
ii) conhecer a estória de um visitante, que parecia modesto, mas que usa uma progressão geométrica para pedir uma enormidade;
iii) ver que os três pontinhos $\ldots$ em algumas progressões geométricas com $r <1$ devem ser levados a sério.




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Aulas

01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
17 Mais questões resolvidas de Vestibulares
18 Da passagem de Tales pelo Egito
19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
20 Seno e cosseno de somas com um pouco de Geometria
21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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