Determinar raiz equivale a simplificar o polinômio

Raízes e fatorações de polinômios


Neste post veremos que, conhecendo alguma raiz de uma equação polinomial como
\[p(x) = x^6 - 5 x^5 + 6 x^4 - x^2 + 5 x - 6 = 0 \]
poderemos "baixar" o grau da equação. É que o polinômio $p(x)$ se fatora ou digamos "se quebra":
\[ p(x) = (x- 3) \cdot ( x^5 - 2 x^4 - x + 2) \]

Repetindo o processo, agora com uma equação de grau menor como
\[ x^5 - 2 x^4 - x + 2 = 0 ,\] conseguiremos em alguns casos determinar todas as raízes da equação original.
Neste post vamos dar:
i) vários exemplos de como fatorar um polinômio dado, a partir do conhecimento de alguma raiz (pertencente a $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, nessa ordem);
ii) um critério útil para determinar alguma raiz em $\mathbb{Q}$ (Racionais), independentemente do grau da equação polinomial.
iii) hipercalculadoras que farão divisão de polinômios.




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01 Máximo divisor comum (mdc) de modo rápido, com Euclides
02 Frações e mínimo múltiplo comum (mmc) no Egito Antigo
03 Os noves fora dos antigos e a aritmética do jovem Gauss
04 A raiz quadrada irracional e suas aproximações
05 Infinitas triplas de Pitágoras e nenhuma de Fermat
06 Complexos no plano de Argand e Gauss
07 Questões resolvidas de Vestibulares
08 Transformar problemas práticos em Matemática
09 Raízes e fatorações de polinômios
10 Discriminante e raízes duplas de equações cúbicas
11 Questões analisadas de Vestibulares
12 Intersecção de retas e planos e sistemas lineares
13 Escalonamento em sistemas de equações lineares, segundo Gauss
14 Diversas operações com matrizes
15 Determinantes de matrizes, com ou sem a Regra de Sarrus
16 Cálculo de determinantes de modo rápido
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19 Leis de senos e cossenos e as paredes fora de esquadro
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21 Geometria das pirâmides truncadas, segundo os Egípcios
22 Retas por dois pontos, coeficiente angular e além
23 Retas tangentes às parábolas, segundo Descartes
24 Geometria analítica, de Descartes a Groebner
25 Questões selecionadas de Vestibulares
26 Progressões aritméticas e geométricas
27 As medidas do círculo e da elipse
28 Resolução de questões de Vestibulares
29 Mirífico logaritmo
30 Raiz quadrada e cálculo de logaritmos, segundo Briggs
31 Aplicações de logaritmos e exponenciais nas Ciências
32 Questões compiladas de Vestibulares
33 Primeiras idéias combinatórias
34 Combinações, binômios e triângulos, segundo Pascal e Newton
35 Grafos planares e a necessidade de viadutos, segundo Kuratowski
36 Seguidores, fofoqueiros e grafos orientados
37 Praticar com questões de Vestibulares
38 Reta tangente e velocidade instantânea, segundo Newton
39 Derivada e reta tangente de um gráfico
40 Derivar é quase sempre um processo mecânico
41 Questões escolhidas de Vestibulares
42 Postulados como regras de um jogo e a Geometria de Poincaré
43 Postulado Euclidiano da paralela e a Geometria de Poincaré
44 Matemática das projeções, segundo Desargues e Poncelet
45 Referências

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