Regra da Cadeia para composição entre funções e curvas

Regra da Cadeia em mais de uma variável



Sabemos do Curso de Cálculo Diferencial em uma variável a importância e a utilidade da regra de derivação chamada Regra da Cadeia (cf. Seção Derivada das Composições (Regra da Cadeia), Inversas, Exponenciais e Logaritmos ).
O que lhe confere essa importância é que uma regra de derivação da composição de funções, um mecanismo básico para criar funções complicadas a partir de funções simples.

Na Afirmação a seguir usamos a noção de função Derivável (Diferenciável) da Seção Derivada ou diferencial em duas variáveis e o plano tangente e a noção de curva parametrizada derivável da Seção Cálculo Diferencial de Curvas Parametrizadas Planas e Espaciais.

Afirmação 1: (Regra da Cadeia em duas variáveis) Sejam $z= f(x,y)$ função Diferenciável definida em um conjunto aberto do plano contendo o ponto $(x_0,y_0)$ e uma curva parametrizada derivável $\gamma(t) = (x(t) , y(t) )$ com $\gamma(t_0) = (x_0, y_0)$. Suponha que a imagem de $\gamma$ esteja contida no domínio de $z=z(x,y)$. Então para a função composta \[z(t) := f(x(t) , y(t) )\] vale \[\small{z^{\prime}(t_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot x^{\prime}(t_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot y^{\prime}(t_0)}\]

Nos próximos parágrafos vamos justificar esse fato, assim como variantes para funções de três variáveis.

As Interações permitirão calcular derivadas de composições e exibirão as chamadas matrizes Jacobianas.