A propriedade refletiva das Parábolas e das outras Cônicas

As Propriedades Refletivas das Cônicas


Os espelhos parabólicos fazem parte de nosso dia-a-dia.
A Interação a seguir mostra esse tipo de espelho, como superfície matemática:

Na Interação usamos a representação implícita\[z - C\,(x^2+y^2) = 0,\]mas que poderia também ser dada como gráfico\[z = C\, (x^2+y^2)\]Fazendo uma seção plana vertical desse gráfico, por exemplo, com o plano coordenado $y=0$, podemos reduzir o estudo aos gráficos do tipo\[z = C x^2\]Se mudarmos um pouco a notação, podemos considerar no que segue parábolas\[y = C\cdot x^2,\quad C > 0 \]Vamos supôr que os raios incidentes provêem de uma fonte muito distante vertical, sendo então pensados como retas verticais no plano $(x,y)$.
Assumiremos o seguinte:
Afirmação 1 (Princípio de Reflexão da Óptica): O ângulo de incidência de um raio luminoso é igual ao ângulo de reflexão.


A Interação a seguir ilustra esse Princípio de Reflexão:

Nesta Seção vamos provar que:
Os raios que incidem verticalmente em um espelho parabólico, após reflexão, passam todos por um único ponto, o Foco do espelho.

Também vamos mostrar que Elipses e Hipérboles têm suas próprias propriedades refletivas.
A propriedade da Elipse foi usada na Arquitetura da Catedral de Saint Paul.