Curvas de níveis ou de isoteores e seus correspondentes matemáticos

Curvas e Superfícies de Nível, Derivadas Parcial e Direcional e Gradiente


Quando um montanhista parte em uma escalada, ele pode contar com a ajuda de um mapa das curvas do relevo.
Esse mapa permite que o montanhista entende as peculiaridades da montanha escolhida, sem que se precise levar uma maquete tridimensional da montanha. Cada ponto do plano tem latitude e longitude $(x,y)$ e o mapa de relevo une em curvas os pontos que têm a mesma altura $z=f(x,y)$.
O correspondente matemático de uma maquete tridimensional é o gráfico da função $z= f(x,y)$ no Espaço, enquanto que o correspondente matemático mapa de relevo é o chamado mapa de curvas de nível:
Definição (Curva de Nível): Seja $f(x,y)$ função definida em um conjunto $U$ do plano. O conjunto dos pontos $(x,y)$ de $U$ onde $f(x,y)$ tem valor fixado $f(x,y) = c$ é chamada curva de nível $c\in \mathbb{R}$ da função.

Quando um Geólogo associa a cada ponto de uma rocha o teor de uma substância química que lhe interessa, está definindo uma função
\[w= f(x,y,z)\]
O gráfico de uma função $w = f(x,y,z)$ de três variáveis não está no espaço $3$-dimensional, mas sim no espaço $4$-dimensional $(x,y,z,w)$:
\[\mbox{Graf}(f) = \{ (x,y,z,w);\, w = f(x,y,z) \}\]
Nesse caso não há um modo fácil de visualizar o gráfico como um todo. Daí a importância de determinar as chamadas superfícies de Isoteores ('mesmo teor") da função $w = f(x,y,z)$.
As superfícies de isoteores são exemplos de superfícies de nível:
Definição: Seja $f(x,y,z)$ função definida em um conjunto $U$ do espaço. O conjunto dos pontos $(x,y,z)$ de $U$ onde $f(x,y,z)$ tem valor fixado $f(x,y,z) = c$ é chamada superfície de nível $c\in \mathbb{R}$ da função.

No próximo parágrafo teremos Interações que traçam curvas e superfícies de nível, para funções e níveis que se desejar.