Sistemas de Coordenadas Polares e suas regiões

Cálculo Diferencial para Curvas Planas em Coordenadas Polares


O sistema de coordenadas polares que será apresentado nesta Seção é uma representação muito útil dos pontos do plano.
Para obter familiaridade com esse novo modo de expressar a posição de pontos no plano, será útil fazer experimentos com as Interações desta Seção que plotam curvas polares.
Estamos acostumados a representar um ponto $P$ do plano por suas coordenadas cartesianas ortogonais $(x,y)$. Mas quando a região do plano que nos interessa tem algum tipo de simetria circular, é útil representar seus pontos de outro modo:
Definição (Sistema de coordenadas polares): Fixamos um ponto $O$ (que será chamado Pólo), traçamos uma semireta desde $O$ (chamado de eixo polar) e associamos a cada $P\neq O$ duas informações:
i) $r(P)$ a distância de $P$ até $O$
ii) o ângulo $0 \leq \theta < 2 \pi$ formado desde o eixo polar até $P$.

Note que há muitas escolhas possíveis de Pólo e eixo polar. Para uma escolha especial, temos um "dicionário":
Afirmação (Dicionário Cartesiano-Polar): Quando o pólo $O$ é escolhido na origem $ (0,0)= (x,y)$ e quando o eixo polar é escolhido no eixo $x > 0$, temos:
\[ x = r \cdot \cos(\theta) \quad \mbox{e}\quad y = r \cdot \sin(\theta) \]
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}\quad \mbox{ e}\quad \theta = \arccos( \frac{ x }{ \sqrt{x^2+y^2} } ) \]


Para regiões que tem algum tipo de simetria circular, o sistema de coordenadas polares simplifica a descrição da região. Basta comparar a descrição de um círculo de raio $1$ no sistema cartesiano com a descrição polar\[ \{\, (x,y) \, ;\, \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \,\} \, =\, \{ \, (r,\theta ) \,;\, r =1\, \}\]
A Interação a seguir mostra regiões em coordenadas polares, delimitadas pelo pólo, por ângulos de abertura e por um gráfico polar: