De Retas para Curvas Parametrizadas, Continuidade e Derivabilidade

Cálculo Diferencial de Curvas Parametrizadas Planas e Espaciais


Nas Seções Retas no plano, intersecção, paralelismo e perpendicularidade e Primeiras observações sobre Retas e Planos no Espaço vimos a noção de reta parametrizada no plano ou no espaço.
Porém nas aplicações da Matemática aparecem curvas muito mais interessantes, no plano ou no espaço, dentre as quais as retas são um tipo muito especial. Não bastará ter informação sobre o traço da curva (ou seja, o conjunto de pontos da curva). Precisaremos ter informação sobre a velocidade e aceleração com que um ponto $P(t)$ da curva se desloca em termos do parâmetro $t$.
A primeira restrição que faremos sobre as curvas que vamos estudar é que sejam contínuas:
Definição (Curva plana contínua): Uma curva parametrizada no plano \[\gamma(t) = (\, x(t) \, ,\, y(t) \,)\]
é contínua no ponto $t_0$ se as funções coodenadas $x(t)$ e $y(t)$ são contínuas em $t_0$.
Diremos que a curva é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio

A Interação a seguir exibe uma curva plana parametrizada, que é uma Elipse:

Definição (Curva espacial contínua): Uma curva parametrizada espacial
\[\gamma(t) = (\, x(t)\, ,\, y(t) \,,\, z(t)\, )\]é contínua no ponto $t_0$ se as funções coodenadas $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$ são contínuas em $t_0$.
Diremos que a curva é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio

Funções de uma só variável, contínuas ou descontínuas, são estudadas na Seção Continuidade e Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.) .
A Interação a seguir mostra uma curva parametrizada espacial que é contínua, mas que tem duas quinas:


No próximo parágrafo vamos definir e implementar a noção de vetor velocidade em cada ponto de uma curva parametrizada (plana ou espacial).
Esse vetor não está bem definido nos pontos que são quinas. Mas quando os vetores velocidades estão bem definidos em toda a curva, temos uma curva parametrizada derivável.