Plano tangente a uma Superfície Implícita

Derivação Implícita de Superfícies e Planos Tangentes



Quando uma superfície é gráfico de uma função diferenciável \[z= f(x,y),\] seu plano tangente no ponto \[(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\] é dado por
\[{\small z = f(x_0,y_0) + \frac{ \partial f }{ \partial x }(x_0,y_0)\cdot (x-x_0) + \frac{ \partial f }{ \partial y }(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)} \]

(cf. a Seção Derivada ou Diferencial em mais variáveis, Plano e Espaço Tangentes).

Nesta Seção trataremos de superfícies implícitas
\[F(x,y,z) = 0,\]
para as quais pode ser difícil explicitar $z = f(x,y)$ (ou também $y = g(x,z)$ ou $x = h(y,z)$).
Questão: Qual o significado do plano tangente de uma superfície implícita $F(x,y,z) =0$ em um ponto $P$ ? Como determinar uma equação para o plano tangente ?

A idéia para responder a essa Questão será considerar o plano tangente como o único plano que contém todos os vetores velocidade $\gamma^{\prime}(t_0)$, de todas as curvas $\gamma(t)$ que passam por $P$ (em algum instante $t_0$) e estão contidas na superfície.
Nos parágrafos a seguir implementaremos essa idéia e visualizaremos os planos tangentes e as superfícies.