Taxa de crescimento em uma direção e um sentido

Derivadas Direcionais e Taxas Relacionadas


Imagine um montanhista na posição $P = (x_0,y_0,z_0)$ da superfície de uma montanha, que é o gráfico da função diferenciável \[z = f(x,y)\]
A medida de quanto ele está subindo ou descendo a montanha naquele instante não depende somente da forma da montanha, mas também de sua velocidade
\[\gamma^{\prime}(t_0),\]onde $\gamma(t)$ é a trajetória do montanhista.
Por exemplo, ele pode estar correndo com norma \[||\gamma^{\prime}(t_0)|| \] grande, mas pode estar em uma curva de nível constante da montanha. E assim não está subindo nem descendo na montanha.
Por outro lado, ele pode ter uma velocidade com norma \[||\gamma^{\prime}(t_0)||\] pequena, mas estar seguindo justamente a direção e sentido mais íngreme.
O modo exato de medir a influência tanto do relevo $z=f(x,y)$ quanto do vetor velocidade no crescimento/decrescimento da altura do montanhista é dado na Afirmação a seguir.
Lembramos que o vetor gradiente (introduzido na Seção Curvas e Superfícies de Nível, Derivadas Parcial e Direcional e Gradiente) é dado por \[ \nabla f (x_0,y_0) = ( \, \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \,\, \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \,)\]
Afirmação: Se a altura $z = f(x,y)$ é uma função diferenciável em $(x_0,y_0)$, a taxa de crescimento/decrescimento da altura para a posição $P = (x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ com velocidade $\gamma^{\prime}(t_0)$ é dada pelo produto escalar\[ \left\langle \nabla f (x_0,y_0) , \gamma^{\prime}(t_0) \right\rangle \]


No próximo parágrafo vamos implementar essa afirmação em Interações que traçam curvas de nível e mostram o vetor gradiente em cada ponto.