Discriminantes de equações quadráticas são pontas de icebergs

Discriminantes do ponto de vista do Cálculo (para graus até $4$)


No Ensino Médio a noção de discriminante aparece quando resolvemos equações quadráticas
\[a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\]
Neste caso, o discriminante vale
\[\Delta = b^2 - 4 \, a \, c\]

E o que aprendemos é que a anulação do discriminante \[\Delta = 0\] sinaliza a existência de uma raiz dupla da equação:
\[x = - \frac{b}{2 a}\]
Nesta Seção veremos como considerar discriminantes do ponto de vista do Cálculo Diferencial, sem apelar à chamada fórmula de Báskara.
Esse novo modo de ver permitirá estender a noção de discriminante para equações polinomiais de quaisquer graus. E, novamente, a anulação do discriminante associado a uma equação sinalizará que existe raiz múltipla.

Nesta Seção vamos nos concentrar na seguinte
Questão: Como são os discriminantes de equações de graus $3$ ou $4$ ?

Teremos algumas surpresas sobre a natureza das curvas discriminantes e veremos superfícies discriminantes em forma de andorinha !