Como entender limites de funções de duas ou mais variáveis

Limites e Continuidade para funções de duas ou mais variáveis


Suponha que temos uma função $z=f(x,y)$ que depende de duas variáveis independentes $x,y$.
Podemos nos perguntar:
À medida que os pontos $(x,y)$ se aproximam de um certo ponto $(x_0,y_0)$, os valores da função $f(x,y)$ se aproximam de um número $L$ ?

O ponto $(x_0,y_0)$ não precisa estar no domínio da função, basta que haja pontos do domínio que fiquem cada vez mais próximos de $(x_0,y_0)$.
Por exemplo, $(x_0,y_0)$ pode pertencer ao Círculo de raio 1 centrado na origem e o domínio da função pode ser apenas o interior do Disco de raio 1, ou seja,
\[\mbox{Dom}(f) = \{ (x,y) ; x^2 + y^2 < 1\}\]
Pergunta: Será que o modo particular como os pontos $(x,y)$ se aproximam de $(x_0,y_0)$ altera o valor de $L$ ? Ou podem se aproximar de qualquer forma (por segmntos de retas, em espirais, etc).

A seguir vamos construir a noção de limite de funções de duas variáveis
\[L = \lim_{(x,y) \to (x_0,x_0)}\, f(x,y) \]
de modo que só vai importar a distância entre $(x,y)$ e $(x_0,y_0)$ e não o modo particular de aproximação.
Definição: A Distância entre pontos $(x,y)$ e $(x_0, y_0)$ do plano é definida por
\[|| (x,y) - (x_0,y_0) || = \sqrt{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 }\]


A definição intuitiva de limite:
Definição (Intuitiva de Limite de função de duas variáveis): Dizemos que \[\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = L\] se os valores $f(x,y)$ ficam tão próximos do número $L\in \mathbb{R}$ quanto quisermos, desde que a distância entre $(x,y)$ e $(x_0,y_0)$ seja suficientemente pequena.

No próximo parágrafo vamos dar uma versão mais técnica dessa definição. Depois vamos tratar da noção continuidade em duas ou mais variáveis.
As Interações que mostrarão diversos exemplos de superfícies em 3D e o levantamento de curvas a essas superfícies serão importantes para entender os conceitos desta Seção.