Definição Sintética e unificada de Cônica

Geometrias Sintética e Analítica de Cônicas


Os livros-texto em geral já começam com equações-padrão de cônicas ou então usam uma definição diferente para cada uma das Cônicas.
Nosso ponto de vista é outro: começamos com uma definição unificada de Cônica e, a partir dela, deduzimos as equações-padrão.

Nada impede que o leitor aceite as equações-padrão como ponto de partida, em uma primeira leitura. E já experimente com as Interações que mostram todas as cônicas e suas grandezas (Focos, diretrizes, excentricidades, semilatus, assíntotas)

A Geometria Sintética é a Geometria no estilo de Euclides, que não depende de equações nem de sistemas de coordenadas para definir seus objetos e provar seus teoremas.
Por exemplo, podemos definir no modo sintético:
Círculo é o lugar geométrico no plano formado pelos pontos que têm a mesma distância até um ponto fixado.

Podemos provar rigorosamente diversos fatos sobre o círculo, sem saber nada sobre a equação quadrática do círculo:
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2\]
Na Geometria Analítica (iniciada por Descartes), escolhe-se um sistema de coordenadas (entre outros) e são usadas equações que definem o lugar geométrico.
Os aspectos geométricos dos objetos traduzem-se então em aspectos algébricos de suas equações e vice-versa (um pouco dessas idéias na Seção (Material Suplementar) As Retas Tangentes segundo Descartes ).
Para começar a abordagem sintética das Cônicas, lembramos duas noções da Seção Retas no plano, intersecção e perpendicularidade:
Definição: Seja $P$ ponto do plano, $P\not\in r$. Um ponto $Q_P \in r$ é chamado de pé da perpendicular traçada desde $P$ se a reta $P \, Q_P$ for ortogonal à reta $r$.

Definição: A distância de um ponto $P$ a uma reta $r$ é definida por\[\overline{P \, r} := \overline{ P Q_P}\] onde $Q_P$ é o pé da perpendicular traçada desde $P$.

A Interação a seguir determina pés de perpendiculares e distâncias de pontos até retas:

Começaremos com a definição sintética de Cônica. Ironicamente, essa definição deixa de fora apenas o conhecido Círculo, que aparecerá depois:
Definição (Cônica): Fixe uma reta $r$ e um ponto $F\notin r$. Uma Cônica é o lugar geométrico no plano dos pontos $P$ com\[ \frac{\overline{P F}}{\overline{P\, r}} = e,\]
onde $\overline{P F}$ é a distância entre os pontos e $\overline{P\, r}$ é distância de ponto até reta.

Ou seja, uma Cônica é o lugar de pontos $P$ cuja distância $\overline{P F}$ está em razão constante $e>0$ para a distância $\overline{P\, r}$.
Definição: A grandeza $e > 0$ é chamada de excentricidade da Cônica, o ponto $F$ é chamado de Foco e $r$ é a reta diretriz.

Veremos nos próximos parágrafos que as Elipses surgem quando $e < 1$, que as Parábolas correspondem a $e=1$ e que as Hipérboles correspondem aos casos $e > 1$.

Todo um Tratado de Cônicas no modo sintético é obra de Apolônio de Perga. Nesse Tratado o ponto de partida é o Cone, cujas seções planas formam as Cônicas - veja essa abordagem na Seção Superfícies Quádricas.