De superfícies implícitas para gráficos explícitos

Gráficos e Superfícies Implícitas



O gráfico de uma função $y= f(x)$ é um conjunto de pontos do Plano.
Assim também o gráfico de uma função $z=f(x,y)$ é um conjunto de pontos do Espaço:
Definição: O gráfico de $z= f(x,y)$ definida em um conjunto $U $ do plano é o conjunto de pontos espaciais dado por
\[\mbox{Graf}(f) := \{ \, (x,y,z); \, z = f(x,y) \, \} \]

Na Seção Primeiras observações sobre Retas e Planos no Espaço estudamos os planos no Espaço de dimensão $3$. Um plano $\pi$ pode ser dado na forma implícita
\[\pi:\, a x + b y + c z + d = 0\]
ou na forma de gráficos de funções de duas variáveis. Por exemplo, se $c\neq 0$,
\[\pi:\, z = z(x,y) = - \frac{a}{c} x - \frac{b}{c} y - \frac{d}{c}\]

Portanto:
Afirmação: No caso dos planos, ou, seja de equações lineares $F(x,y,z)=0$, a passagem da forma implícita para a forma de um gráfico é uma questão trivial.

Mas fazemos o seguinte alerta:
Alerta: Quando as equações implícitas não são lineares, pode não ser fácil obter um gráfico explícito que descreva a superfície $F(x,y,z)=0$. Além disso, pode ser que nenhum gráfico sozinho compreenda toda a superfície, que terá de ser obtida através de uma colagem de gráficos.

No outro sentido, de gráfico a superfície implícita, a passagem é direta:
Afirmação: Dado um gráfico vertical $z = f(x,y)$, uma forma implícita associada é
\[F(x,y,z) := z - f(x,y) = 0\]

A partir do próximo parágrafo as Interações permitirão visualizar em 3D (girar, aproximar, etc) diversas superfícies implícitas surpreendentes !