A linguagem apropriada para fenômenos dependentes de vários fatores

Motivações para o Cálculo Diferencial em mais variáveis



No Curso Cálculo Diferencial em uma variável fizemos uma hipótese simplificadora: as funções dependiam essencialmente de uma só variável.
Mas, no dia-a-dia e nas Ciências, os fenômenos dependem de várias variáveis: por exemplo, o preço final de um produto depende da matéria-prima, dos impostos, do custo de transporte, etc.
Neste Curso:
Tornaremos mais realista as funções que analisaremos, permitindo que dependam de mais de uma variável independente; a começar por duas variáveis em $z= f(x,y)$, mas não nos limitando a isso.

Uma função como $z= f(x,y)$ pode medir os teores de uma substância química especial em um terreno plano. Então pode ser útil entender a geometria das chamadas curvas de isoteores
\[f(x,y) = c,\quad c \in \mathbb{R},\]
assim como entender onde $z= f(x,y)$ têm máximos ou mínimos, nos chamados problemas de otimização, típicos das Engenharias.
Por outro lado:
Os pontos espaciais \[(x,y,z) =(x,y, f(x,y))\] formam a superfície-gráfico de $z= f(x,y)$.

Acionando a tecla Interação a seguir veremos dois exemplos tridimensionais, que selecionamos com um botão em "Modificar":

Ao longo do Curso a interatividade com as figuras é ainda maior, podendo-se usar qualquer expressão $f(x,y)$. Mas esta Interação já coloca uma questão:
As imagens sugerem que as duas superfícies se curvam no espaço de modo bem diferente.

Um ponto de vista típico do Cálculo Diferencial em mais variáveis é aproximar a geometria da superfície por um plano que "toque" a superfície.
No caso do hemisfério o plano toca a superfície em um só ponto, na outra superfície o plano intersecta a superfície em um "X": Isso está mostrado na Interação a seguir:

Este Curso permite uma enorme gama de exemplos espaciais, com os quais podemos interagir (rodar, fazer zoom, etc).

Também esperamos surpreender com a projeção em $3D$ de figuras $4D$ !
Bons estudos (e boa diversão) !