Formas das curvas em torno de cada um de seus pontos

O Problema da Função Implícita


Considere uma curva no plano dada implicitamente pela equação \[F(x,y) = 0\]
Essa forma implícita é muito frequente, por exemplo no Curso Equações Diferenciais.
Na Seção Derivadas Implícitas para Curvas no Plano do Curso Cálculo Diferencial em uma variável, supusemos que existissem gráficos de funções deriváveis \[y= y(x)\quad \mbox{ou}\quad x = x(y)\]que descrevessem a curva \[F(x,y)=0\] em torno de cada um de seus pontos e calculamos as chamadas derivadas implícitas:\[y^{\prime}(x)\quad \mbox{ou}\quad x^{\prime}(y)\]
Naquela Seção a ênfase estava em calcular as derivadas implícitas. Agora nesta Seção a ênfase está na fundamentação.
Podemos perguntar:
Questão 1 (Pergunta crítica): Será que sempre existe um gráfico $y= y(x)$ (ou $x= x(y)$) de função derivável que descreva totalmente a curva $F(x,y)=0$ em torno de cada um de seus pontos ?


Questão 2: Em caso afirmativo, quando usar um gráfico "vertical" $y= y(x)$ ou quando usar um gráfico "horizontal" $x=x(y)$ ?

No próximo parágrafo daremos exemplos motivadores para chamado Teorema da Função Implícita.