Máximos ou Mínimos com restrição ou vínculo

Multiplicadores de Lagrange no plano e no espaço



Continuamos nesta Seção o estudo de métodos de Otimização, que iniciamos na Seção Problemas de Otimização em duas ou mais variáveis.
Começamos observando que a função \[f(x,y) = x \] não tem ponto de máximo nem tem ponto de mínimo no plano $\mathbb{R}^2$ (que é ilimitado).
Mas:
Se restringirmos $f(x,y) = x$ ao Círculo de raio $1$ centrado na origem, então essa restrição tem ponto de mínimo em \[(x_0,y_0) = (-1 , 0)\] e ponto de máximo em \[(x_1,y_1) = (1 , 0)\]


Agora observamos que o vetor gradiente da função original $f(x,y) = x$ é sempre horizontal: \[\nabla f \equiv ( 1 , 0)\]Também observamos que, nos pontos $(x_0,y_0) = (-1 , 0)$ e $(x_1,y_1) = (1 , 0)$, o gradiente da função
\[g(x,y) := x^2 + y^2 - 1\]
também é horizontal:
\[{\small \nabla g = ( 2 x \, ,\, 2 y),\quad \nabla g (-1,0) = (-2,0)\quad \mbox{e}\quad \nabla g (1,0) = (2 , 0 )} \]
O Círculo é o nível zero da função $g(x,y)$; portanto podemos afirmar:
Afirmação 1:
O ponto $(x_0,y_0) = (-1 , 0)$ de Mínimo da função $f(x,y)$ restrita ao Círculo é um ponto de tangência entre a curva de nível $f(x,y) = f(-1,0) = -1$ e a curva de nível $g(x,y) = 0$ que representa o Círculo.
O ponto $(x_1,y_1) = (-1 , 0)$ de Máximo da função $f(x,y)$ restrita ao Círculo é um ponto de tangência entre a curva de nível $f(x,y) = f(-1,0) = -1$ e a curva de nível $g(x,y) = 0$ que representa o Círculo.

Na Interação a seguir visualizamos a Afirmação 1:

Observação 1: As tangências da Afirmação 1 se expressam através da dependência entre os vetores gradientes:
\[{\small \nabla f = -\frac{1}{2}\cdot \nabla g(-1,0)\quad \mbox{e}\quad \nabla f = \frac{1}{2}\cdot \nabla g(1,0) }\]

A Afirmação 1 e a Observação 1 serão apenas exemplos do Método dos Multiplicadores de Lagrange, para maximizar ou minimizar funções restritas a curvas.
A curva $g(x,y)= 0$ (no exemplo, o Círculo) é chamada de curva-vínculo entre as variáveis $x,y$ da função $f(x,y)$.
O Método será estendido também a funções de três variáveis $f(x,y,z)$, com superfície-vínculo $g(x,y,z) =0$.
As Interações desta Seção implementam todo o Método de Multiplicadores, no plano e no espaço. Resolvem os sistemas de equações envolvidos e exibem tangências entre curvas no plano e entre superfícies no espaço.