A noção de Concavidade

Segunda Derivada e Concavidade de gráficos



No Ensino Médio ouvimos falar em concavidade quando estudamos as parábolas \[y= p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c,\quad a,b,c\in \mathbb{R},\] que podem ter concavidade para cima ou para baixo dependendo do sinal de $a$ (positivo ou negativo, respectivamente).
Mas a noção de concavidade é uma noção geométrica geral, se aplica a qualquer gráfico $y= f(x)$ e está ligada ao comportamento da segunda derivada

\[f^{\prime\prime}(x)\]

Note que, no caso das parábolas, a segunda derivada é constante \[p^{\prime\prime}(x) = 2 a, \]
enquanto que, em um gráfico geral, a segunda derivada é uma função que pode mudar de sinal.
Primeiro vamos dar uma definição de concavidade de um gráfico em todo um Intervalo.
Notação: O símbolo $\forall x$ usado na Definição a seguir significa para todo $x$.

Definição (Concavidade em todo um Intervalo): Seja $f: I \to R$ uma função derivável, definida em um intervalo $I$ e para cada $x_0\in I$ denote a reta tangente ao gráfico $y=f(x)$ em $( x_0, f(x_0) )$ por \[y = r_{x_0}(x)\]
Diremos que $f$ é côncava para cima em todo o intervalo $I$ se $\forall x_0\in I$,
\[f(x) > r_{x_0}(x), \quad \forall x\in I\quad \mbox{e}\quad x\neq x_0\]
Também diremos que $f$ é côncava para baixo em todo o intervalo $I$ se $\forall x_0\in I$, \[f(x) < r_{x_0}(x), \quad \forall x\in I\quad \mbox{e}\quad x\neq x_0\]

A Interação a seguir apresenta um gráfico côncavo para cima em todo seu domínio (experimente escolher outro $x_0$).
Observe no exemplo default que $y=f(x)$ é decrescente, mas $y=f^{\prime}(x)$ é crescente !

No próximo parágrafo vamos estabelecer a relação entre concavidade e o sinal da segunda derivada.