Verdades intuitivas e verdades não-intuitivas

Noção intuitiva de limite de funções


A noção de processo limite é a noção mais fundamental do Cálculo.
Vimos na Seção Motivações para estudar O Cálculo e o Alcance dessa Teoria que com essa noção podemos reduzir $\pi$ a operações aritméticas simples, poderemos calcular Áreas de regiões complicadas, etc.
Chegou o momento de começar a entender essa noção. Para começar, é aconselhável usar a intuição que se tem sobre processos limites, mas em seguida veremos que certos fatos escapam à intuição de qualquer pessoa.
Considere uma função $f(x)$ cujo domínio é um Intervalo $I$. Fixe um número $x_0$ Real (pense como ponto da reta dos Reais) que esteja no intervalo $I$, por exemplo
\[I = [0,1]\quad \mbox{e}\quad x_0 = \frac{1}{2}\]
ou que, pelo menos, $x_0$ seja um extremo de $I$ se $I$ for um intervalo aberto; por exemplo,
\[I = (0,1)\quad \mbox{e}\quad x_0 = 0\]
O que queremos é que seja possível escolher pontos $x$ de $ I$ tão próximos quanto quisermos de $x_0$, sem serem iguais a $x_0$.
Essa proximidade de $x_0$ não seria possível se, por exemplo,
\[I= (0,1)\quad \mbox{e}\quad x_0 =2,\] pois a menor distância entre elementos de $I$ e $x_0=2$ seria $1$.
Como escolheremos elementos de $I$ próximos de $x_0$, vamos denotá-los por
\[ x = x_0 + \Delta\]
onde $\Delta$ tem módulo $| \Delta | >0$ mas cada vez menor.
A noção intuitiva é a seguinte:
Definição (Provisória): Diremos que o número $L$ é o limite da função $f(x)$, quando $x$ tende a $x_0$, se os valores \[f(x_0 + \Delta)\] aproximam-se cada vez mais de $L$, tanto quanto quisermos, desde que os pontos \[x_0 + \Delta\] aproximem-se cada vez mais de $x_0$.

A notação usada é
\[\lim_{x\to x_0} \, f(x) = L, \]

que se lê como "o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $x_0$ vale $L$".
No próximo parágrafo teremos calculadoras para analisar os valores $f(x_0 + \Delta)$, quando $\Delta$ diminui, em diferentes exemplos.