A mais importante regra de derivação

Derivada das Composições (Regra da Cadeia), Inversas, Exponenciais e Logaritmos


A composição de funções foi vista na Seção Operações com Funções e seus Gráficos, incluindo Composta e Inversa.
É o modo natural de criar funções complicadas, a partir de funções simples.

Pense num processo da Natureza, que concatena reações ou resultados simples para alcançar um efeito final notável.

Por isso é tão importante a regra que veremos agora:
Permite determinar a derivada da função composta a partir das derivadas das funções simples que foram usadas na composição.

Antes de enunciar a regra geral, vejamos alguns exemplos de composições.
Considere para cada $n\in N$ as funções \[f_n(x):= n\cdot x\quad \mbox{e}\quad g(x)= \sin(x)\]
e as funções compostas \[(g\circ f_n)(x) = \sin(\, n\cdot x\,)\]
Questão: Qual é a função derivada de $(g\circ f_n)(x) = \sin(\, n\cdot x\,)$ ?

Quando $x$ percorre o intervalo $[0, 2\pi]$, os valores $f_n(x)= n\cdot x$ percorrem o intervalo $[0, n\cdot 2 \pi]$. Por isso o gráfico da função composta $\sin(\, n\cdot x\,)$ se parece com $n$ cópias comprimidas do gráfico de $\sin: [0, 2\pi] \to R$.
Dito de outro modo, os gráficos de $\sin( n x)$ tem inclinações mais acentuadas que o do seno usual.
A Interação a seguir compara os gráficos de $\sin(x)$ e de $\sin(2 x)$:

A inclinação mais acentuada pode ser interpretada como velocidade maior. Isso faz sentido, pois $\sin( n t)$ faz no "tempo" $\frac{2 \pi}{n}$ tudo que o seno usual faz no "tempo" $2 \pi$.
A comparação entre os gráficos de $\sin(x)$ e de $\sin( 2x)$ sugere que
\[(\sin(2x))^{\prime} \neq \cos( 2 x) \]
De fato se fosse $(\sin(2x))^{\prime} = \cos( 2 x)$, então o módulo das inclinações de $y = \sin(2x)$ não passaria do valor $1$.
A Afirmação a seguir quantifica a diferença:
Afirmação: \[(\sin(n x))^{\prime} = n \cdot \cos( n x),\quad n\in \mathbb{N}\]

Nos próximos parágrafos explicaremos exemplos mais envolventes e a regra geral.