Uma confusão frequente sobre sinal da derivada e crescimento

(Material Suplementar) Função com derivada positiva em um ponto e que não é crescente


Na Seção Sinal da derivada e o crescimento de funções aprendemos que se a derivada de uma função é positiva em um intervalo, então a função é (estritamente) crescente nesse intervalo.
Mas alguns estudantes (e alguns livros-texto) tendem a substituir a hipótese sobre o sinal da derivada no intervalo todo por um hipótese sobre o sinal em apenas um ponto.
Pretendemos explicar aqui nesta Seção que:
Afirmação 1: Existem funções que tem $y^{\prime}(x_0) >0$ em um ponto $x_0$ mas que não são crescentes em nenhum intervalo centrado no ponto $x_0$.

A justificação dessa afirmação será feita exibindo uma função com essas características.
Analogamente poderíamos construir exemplos com $f^{\prime}(x_0) < 0$ em um ponto e que não são decrescentes em nenhum intervalo centrado no ponto.