A noção de Continuidade

Continuidade e Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.)



A noção de continuidade tem um aspecto bem teórico e outro bem prático.

Do ponto de vista prático, a noção de continuidade (ou o seu oposto, a descontinuidade) é muito relevante.
Imagine um Engenheiro ou Físico fazendo medições da variável $x_0$. Por dificuldades experimentais há sempre erros de medição e imprecisões, ou seja, o valor $x_0$ está sujeito a uma margem de erro para $x$, próximo de $x_0$.
Pergunta: se $x$ está próximo de $x_0$, será que o valor de qualquer função $f(x)$ tem que estar próximo do valor $f(x_0)$ ?

Muitas vezes a resposta é sim: erramos um pouco a medição de $x$, mas nem sequer notamos a mudança de $f(x_0)$ para $f(x)$.
Mas a experiência mostra que nem sempre as coisas funcionam assim. Alguns exemplos do cotidiano:
Exemplo (Biologia) Suponha que $f(x)$ mede a agressividade de um rato em função do stress $x$. Existe um limiar $ x_0$ de stress tal que, enquanto $x< x_0$ o rato permanece amedrontado e em posição defensiva. Porém quando $x=x_0$, o rato parte para o ataque, ou seja $f(x_0)$ torna-se muito grande comparada com $f(x)$.

Exemplo (Química) Se $f(x)$ mede o estado da nitroglicerina e $x < x_0$ mede a energia adicionada, a observação mostra que $f(x)$ pode ser baixo enquanto $x<x_0$, mas $f(x_0)$ pode ser uma explosão.

Exemplo (Circuitos Elétricos) Quando uma chave liga/desliga introduz tensão em um circuito elétrico no instante $x=x_0$, podemos dizer que a tensão instantaneamente passou do valor $0$ para um certo valor constante, que pode ser alto.

Esses exemplos mostram que não podemos sempre afirmar que $x$ próximo de $x_0$ implique $f(x)$ próximo de $f(x_0)$.
Por isso vale a pena destacar uma definição:
Definição (Provisória): As funções que têm valores $f(x)$ próximos de $f(x_0)$, quando $x$ está próximo de $x_0$, são chamadas de funções contínuas em $x_0$.

Já vimos na Seção Noção intuitiva de limite de funções e na Seção Definição de limite e o jogo de epsilons e deltas a noção de Limite. Por isso podemos definir precisamente:
Definição: Seja $f: I \to R$ função definida no intervalo aberto $I$. Dizemos que $f$ é contínua em $x_0\in I$ se \[\lim_{x \to x_0} \, f(x) = f(x_0)\]
Quando essa propriedade vale em cada ponto do domínio de $f$, dizemos simplesmente que $f$ é contínua.