Uma definição precisa de Limite

Definição precisa de Limite de Funções e o Jogo de epsilons e deltas


Apesar do sucesso que o Cálculo teve ao longo dos séculos 17 e 18, permaneciam obscuros alguns fundamentos da teoria. Em particular, a noção de limite.
Uma crítica relevante foi feita pelo filósofo Berkeley na obra "The Analyst". No século 19, Cauchy e Weierstrass , entre outros, conseguiram esclarecer a noção de limite. E chegaram numa definição simples e precisa, que é a que vamos explicar nesta Seção.
A definição é a seguinte:
Definição (Limite de Funções): Dizemos que $L\in R$ é o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $x_0$, se para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta >0$ tal que \[0 < | x - x_0 | < \delta \quad \Rightarrow \quad | f(x) - L | < \epsilon\]

O símbolo usado é \[\lim_{x\to x_0} f(x) = L \]

Essa definição exige algumas observações.
Observação 1): a flecha $\Rightarrow$ significa "então". Ou seja, se a distância entre $x$ e $x_0$ for pequena o suficiente, então a distância entre $f(x)$ e $L$ é pequena também.

Observação 2): Note o "exagero" matemático presente na definição, pois se pede que todos $\epsilon >0$ sejam considerados, por menor que sejam.

Observação 3): Note que pede $0 < | x - x_0 |$, ou seja, $x \neq x_0$. Isso garante que se calcule o limite sem precisar usar $x= x_0$ (nem usar $f(x_0)$). Isso é importante, pois há situações, como \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x},\]que não nos permitem usar $x= x_0 = 0$, apenas podemos usar $x$ próximo de zero e $x\neq 0$ (para não dividir por zero).

Observação 4): O número $\delta$ não depende em geral só de $f(x)$ e de $\epsilon$, mas possivelmente também do ponto $x_0$.

Observação 5): A definição pede que exista um $\delta>0$ adequado, mas não dá nenhuma receita geral de como determiná-lo.

Os exemplos desta Seção são ainda iniciais e serão justificados apenas usando a Definição. Na Seção Cálculo de limites e propriedades básicas, calcularemos limites mais complicados, para os quais a escolha de um $\delta$ explícito ficaria muito difícil.