Derivadas de funções trigonométricas inversas (arcoseno)

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas e Trigonométricas Hiperbólicas Inversas


Usaremos agora as técnicas da Seção Derivada das Composições (Regra da Cadeia), Inversas, Exponencias e Logaritmos para calcular as derivadas das funções trigonométricas inversas.
Essas funções (arcoseno, arco cosseno, arcotangente, etc) foram estudadas na Seção Funções Trigonométricas Inversas.
Começamos lembrando que a restrição do seno \[\sin : (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to (-1, 1)\] é uma função estritamente crescente, logo é injetiva e por isso admite uma função inversa.
A função inversa dessa restrição $\sin : (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}$ é chamada de valor principal do arco seno ou apenas arcoseno:
\[ \mbox{arcoseno}: (-1,1) \to (-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}) \]

A palavra "arco seno" capta o fato que para $\sin (\theta)$ em $(-1,1)$ existe um único arco $\theta$ com \[\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\]que tem esse valor de seno.
Afirmação: Para $\mbox{arcoseno}: (-1,1) \to (-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2})$ vale \[\mbox{arcsin}^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}\]


A Interação a seguir ilustra essa Afirmação sobre a derivada do arcoseno, em escala realista: