A necessidade da Derivação Implícita em um exemplo detalhado

Derivadas Implícitas para Curvas no Plano


Vamos começar com uma definição:
Definição: Uma curva no plano $(x,y)$ é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação $F(x,y) =0$.

No plano Real, esse conjunto pode ser vazio; por exemplo, se usarmos \[F(x,y) = x^2 + y^2 +1 = 0\]
A Interação a seguir apresenta um exemplo default interessante de curva de grau 3,
\[F(x,y) = y^3 - x^2 + x y + 1 = 0,\]
com dois de seus pontos destacados:


No exemplo default é visível que existe uma inclinação bem definida no ponto $(1,0)$ destacado. Ou seja, nesse ponto destacado existe um reta tangente à curva.
Questão: Como determinar a equação da reta tangente a um ponto de uma curva ?

Pelo que aprendemos até agora, as retas tangentes (não verticais) a um gráfico $y= f(x)$ são dadas por
\[y = f^{\prime}(x_0)\cdot (x - x_0) + f(x_0),\]
onde $f^{\prime}(x_0)$ é a derivada de $f$ em $x_0$.
Mas o problema é que não é nada óbvio como obter uma expressão explícita para \[y= y(x)\] que descreva uma porção da curva passando pelo ponto escolhido.
Ou seja, não é óbvio como obter uma expressão $y=y(x)$ para a qual valha
\[F( x , y(x) ) = 0,\]
nem mesmo para $x$ em um pequeno intervalo.
Mesmo sim poderemos determinar a reta tangente, derivando implicitamente.