A necessidade de um método de aproximação

O Método de Newton para aproximar raízes


Imagine quantas vezes ao longo do trabalho de quem usa a Matemática aparecem números como
\[\sqrt{2},\quad \sqrt[3]{7},\quad \arctan(2)\]

Por serem números irracionais, precisam ser aproximados para terem sentido concreto e aplicação prática.
Observe que esses três números podem ser pensados como raízes das seguintes equações:
\[x^2 - 2 =0, \quad x^3 -7=0\quad\mbox{e}\quad \sin(x) - 2 \cos(x) =0\]

Então podemos colocar o problema geral:
Problema: aproximar raizes de uma equação $f(x) =0$.

Apresentaremos nesta Seção o chamado método de aproximação de Newton, para resolver esse problema.
Por outro lado, ao longo deste Curso de Cálculo Diferencial, em algumas situações, não tivemos informação efetiva sobre a localização de certos pontos que nos interessavam.
Por exemplo, quando usamos o Teorema do Valor Intermediário ou quando usamos o Teorema do Valor Médio de Lagrange.
Esses Teoremas garantem a existência, mas dão pouca informação sobre a localização de pontos importantes.

Veremos também nesta Seção que o método de aproximação de Newton pode dar informação concreta sobre a localização desses pontos importantes.