Inflação Média, Velocidade Média e Reta Secante

O conceito de Derivada


Para um Economista que estuda a inflação, não é muito informativo saber apenas quanto aumentou um determinado preço, se não tiver informação do tempo transcorrido.
Se $p(x_0)$ é o preço de uma mercadoria no instante de tempo $x_0$ e se $p(x_0 +h)$ é o preço no instante $x_0 + h$, então a grandeza
\[ \frac{p(x_0 + h) - p(x_0)}{h} \]
mede a inflação média no decorrer do tempo $h> 0$. Este dado é bem mais informativo.
Agora imagine um Físico ou um Engenheiro que registra o deslocamento $d(x)$ de um objeto. Novamente, não é muito informativo ter apenas os dados de deslocamento, se não tiver a informação de quanto tempo transcorreu. Mas certamente é informativo o dado de velocidade média
\[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{ h } \]
Agora imagine um Geômetra que traça um gráfico $y = f(x)$, escolhe dois pontos do gráfico
\[ ( x_0,f(x_0) ) \quad \mbox{e}\quad ( x_0+h , f (x_0+h) ) \]e traça a reta ligando esses dois pontos, chamada de reta secante. De acordo com o revisamos na Seção Algumas Funções Elementares (Linear, Degrau, Módulo, Polinomial, Por Partes e Racional) , o coeficiente angular da reta secante vale\[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{ h } \]
Nos três exemplos aparece um quociente (razão), onde o numerador mede o aumento (incremento) de uma função (variável dependente) e onde o denominador mede o incremento na variável independente. Isso motiva a
Definição: Seja $f(x)$ uma função definida em $x_0$ e em $x_0+h$, para $h\neq 0$. A Razão Incremental é \[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{ h } \]