Potências Naturais

Mais Funções Elementares (Potências, Funções Algébricas, Exponenciais e Logaritmos)



Quando falamos em polinômios na Seção Algumas Funções Elementares (Linear, Degrau, Módulo, Polinomial, Por partes e Racional) estávamos implicitamente fazendo uso de expressões monomiais (mono = um, poli = vários) do tipo $x^n$.
O produto "$\cdot$" faz parte da estrutura dos números Reais e supondo que temos os números Naturais $N$, definimos:
Definição: A função potência Natural $f_n(x) = x^n$ é o produto de $n$ fatores $x$:
\[x^n := \underbrace{x\cdot \ldots \cdot x}_{n fatores}\]

A observação a seguir é bastante útil ao longo do Curso de Cálculo:
Afirmação (Comparação entre potências Naturais) : Suponha $m,n\in N$, com $n > m$.
i) Se $x\in (1,+\infty)$ então $x^n > x^m$
ii) Se $x\in (0,1) $ então $x^n < x^m$


A Interação a seguir plota quantas funções $f_n(x) = x^n$ você quiser, e se vê claramente que $x=1$ é um ponto em que os diferentes gráficos se cruzam.

Esta Afirmação facilita a compreensão de um princípio muito usado no Cálculo, que será justificado mais adiante:
Princípio (Potências Relevantes): para números $x$ com módulos $| x | > 1 $ grandes, as maiores potências $n$ em funções $x^n$ são as mais relevantes. Mas, para números $x$ com $| x | < 1 $ pequenos, são as menores potências em funções $x^n$ aquelas que são relevantes.