Raízes de polinômios e Fatoração

Sobre Raízes e Fatoração de Polinômios e Funções Racionais


Nesta Seção temos por objetivos:
i) explicar conteúdo fundamental a respeito da relação entre determinar uma raiz de um polinômio e fatorar o polinômio.
ii) dar uma técnica para determinar uma raiz Racional, que pode ser útil em muitos exercícios.
ii) ao final da Seção, oferecer Interações para fatorar polinômios em fatores lineares e quadráticos.
Vamos começar com exemplos concretos e depois enunciaremos fatos gerais que estão na base dos exemplos.
Para começar, considere o polinômio de grau $3$:
\[p_3 (x) = x^3 - 3 x + 2\]
do qual queremos determinar as raízes. Ou seja, queremos resolver a equação
\[x^3 - 3 x + 2 = 0\]
Se esse polinômio fosse de grau $2$, saberíamos suas Raízes. De qualquer forma, podemos tentar recair no que sabemos sobre polinômios de grau $2$, usando a seguinte idéia:
Afirmação Se temos uma raiz $x_1$ de $p_3(x) = x^3 - 3 x + 2$, podemos fatorar
\[p_3(x) = (x -x_1)\cdot (a_2 x^2 + a_1 x + a_0)\]


Como sabemos determinar as raizes $x_2, x_3$ do polinônio quadrático \[a_2 x^2 + a_1 x + a_0,\] aplicamos o mesmo tipo de Afirmação agora ao polinômio \[a x^2 + b x + c \] e obtemos:
\[a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = (x - x_2)\cdot (x-x_3)\]
Portanto
\[ p_3(x) = (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3) \]
Agora só resta encontrar a primeira raiz $x_1$ de $p_3(x) = x^3 - 3 x + 2$, para começar o processo.
Para isso será útil a seguinte:
Afirmação (Raízes Racionais em um exemplo): Se existe alguma raiz Racional $ \frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ de $x^3 - 3 x + 2 $, então os possíveis valores dos Inteiros $m, n\in \mathbb{Z} $ são
\[ \begin{cases} m= \pm 1, 2\\ n = \pm 1 \end{cases} \]

Não é difícil de ver que o candidato \[\frac{m}{n} = 1\] funciona como raiz. E as raízes de $p_2(x)$ que aparecem em
\[ x^3 - 3 x + 2 = (x-1) \cdot p_2(x)\]
são $x_2=1$ e $x_3=-2$. Logo a fatoração obtida é
\[ x^3 - 3 x + 2 = (x-1)^2 \cdot (x+2) \]
A Afirmação (Raízes Racionais em um exemplo) será justificada mais abaixo.