Apresenta a série de Livros-interativos da UFRGS
Cálculo Diferencial em uma variável
19 Sinal da Derivada, Crescimento, Máximos e Mínimos locais
Sinal da derivada e o crescimento de funções
Exercícios ( 09 )
Sinal da função derivada e crescimento de funções
Sinal da derivada e o crescimento de funções
Desde o momento em que foi definida, na Seção O conceito de Derivada, a derivada \[f^{\prime}(x)\] parece estar ligada ao crescimento ou decrescimento da função $f(x)$.
Seja porque mede a inclinação do gráfico $y=f(x)$ em um ponto, seja pela interpretação Física como velocidade instantânea, o sinal \[f^{\prime}(x) > 0\] parece indicar crescimento de $f(x)$ (enquanto $f^{\prime}(x)<0$ parece inidicar decrescimento de $f(x)$).
Nesta Seção vamos esclarecer o que há de verdade nessas intuições.
As demonstrações desta Seção são um um pouco mais técnicas, dependendo da Seção Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio de Lagrange (T.V.M.). Por isso, nossa sugestão é deixar as demonstrações para uma segunda leitura. Na primeira leitura o importante é dar atenção aos conceitos e ao conteúdo das afirmações.
Começamos com uma terminologia:
Definição: Uma função $f(x)$ definida num intervalo $I$ é chamada de crescente em $I$ se para todos pares de pontos de $I$ vale: \[x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f( x_1) \leq f(x_2)\]
Além disso, $f(x)$ é chamada de estritamente crescente em $I$ se para todos pares de pontos de $I$ vale: \[x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f( x_1) < f(x_2)\]
Além disso, $f(x)$ é chamada de estritamente crescente em $I$ se para todos pares de pontos de $I$ vale: \[x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f( x_1) < f(x_2)\]
No exemplo default da Interação a seguir a função é crescente em certas regiões e decrescente em outras.
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Cálculo Diferencial em uma variável
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| 01 Uma forma mais motivadora de estudar |
| 09 A noção intuitiva de Limite |
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| 12 Cálculo de Limites e suas propriedades |
| 13 Continuidade e Teorema do Valor Intermediário |
| 14 O conceito de Derivada |
| 15 Derivadas de Produto, Quociente e Trigonométricas |
| 16 Significados Geométrico e Cinemático das Derivadas |
| 17 A Regra da Cadeia e Derivadas de diversas funções |
| 18 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas |
| 19 Sinal da Derivada, Crescimento, Máximos e Mínimos locais |
| 20 Teoremas de Fermat, Rolle e do Valor Médio de Lagrange |
| 21 Algumas sutilezas da noção de Derivada |
| 22 Testes das Derivadas para Máximos, Mínimos e Inflexões |
| 23 A noção de Concavidade |
| 24 Derivadas Implícitas |
| 25 Aplicação à criação de Códigos Secretos |
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| 28 Máximos e Mínimos segundo o Cálculo Diferencial |
| 29 Primeiros Problemas de Otimização |
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| 31 Método de Aproximação de Newton |
| 32 O ponto de vista de Descartes |
| 33 Referências |