Sinal da função derivada e crescimento de funções

Sinal da derivada e o crescimento de funções



Desde o momento em que foi definida, na Seção O conceito de Derivada, a derivada \[f^{\prime}(x)\] parece estar ligada ao crescimento ou decrescimento da função $f(x)$.
Seja porque mede a inclinação do gráfico $y=f(x)$ em um ponto, seja pela interpretação Física como velocidade instantânea, o sinal \[f^{\prime}(x) > 0\] parece indicar crescimento de $f(x)$ (enquanto $f^{\prime}(x)<0$ parece inidicar decrescimento de $f(x)$).
Nesta Seção vamos esclarecer o que há de verdade nessas intuições.

As demonstrações desta Seção são um um pouco mais técnicas, dependendo da Seção Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio de Lagrange (T.V.M.). Por isso, nossa sugestão é deixar as demonstrações para uma segunda leitura. Na primeira leitura o importante é dar atenção aos conceitos e ao conteúdo das afirmações.

Começamos com uma terminologia:

Definição: Uma função $f(x)$ definida num intervalo $I$ é chamada de crescente em $I$ se para todos pares de pontos de $I$ vale: \[x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f( x_1) \leq f(x_2)\]
Além disso, $f(x)$ é chamada de estritamente crescente em $I$ se para todos pares de pontos de $I$ vale: \[x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f( x_1) < f(x_2)\]


No exemplo default da Interação a seguir a função é crescente em certas regiões e decrescente em outras.