A noção de ponto crítico e o Teorema de Rolle

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio de Lagrange (T.V.M.)


A Seção Sinal da derivada e o crescimento de funções apresentou fatos fundamentais do Cálculo.
Mas as demonstrações rigorosas daqueles fatos baseiam-se no Teorema de Valor Médio de Lagrange, que é o tema desta Seção.
Intuitivamente, o Teorema de Valor Médio de Lagrange diz que, se a velocidade média em uma viagem foi de $c$ $\mbox{km/h}$, então algum instante da viagem o velocímetro esteve marcando $c$ $\mbox{km/h}$. Parece tão óbvio ... mas a sutileza está na noção de "instante", que não é captada por nenhum velocímetro real.

Começamos com um fato simples, mas que é o fundamento para o Teorema de Lagrange:
Afirmação (Teorema de Rolle): Seja $f:[a,b]\rightarrow R$ função contínua e derivável em $(a,b)$. Se \[f(a)= f(b)\]
então existe algum ponto $x_0\in (a,b)$ tal que \[f^{ \prime}(x_0)= 0\]

Definição (Ponto crítico): Um ponto $x_0$ onde $f^{\prime}(x_0) =0$ é chamado de ponto crítico de $f(x)$.


A Interação a seguir mostra como exemplo default um gráfico com um único ponto crítico (Real):

Nesta Seção vamos ver consequências práticas e teóricas do Teorema de Rolle.
A leitura da parte final desta Seção, que analisa a prova do Teorema de Rolle, exige um pouco mais do leitor, mas traz como prêmio a sensação de começar a "abrir a caixa preta". Traz a vertigem de mergulhar nas primeiras noções da chamada Análise Matemática.