Pontos de máximo ou mínimo em um ponto crítico (Teorema de Fermat)

Teste da Segunda Derivada (e de ordem Superior) para Máximos, Mínimos e Inflexões



Maximizar ou minimizar processos é parte importante do trabalho da Engenharia e detectar pontos de máximos ou mínimos é crucial na Física-Matemática. Entre as maiores utilidades do Cálculo Diferencial está a capacidade de localizar esses pontos.
Começamos a tratar do tema de Máximo e Mínimos (Locais) na Seção Sinal da derivada e o crescimento de funções
Um fato fundamental sobre Máximos e Mínimos (que já foi usado na Seção Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio de Lagrange (T.V.M.) ) é o seguinte:
Afirmação (Teorema de Fermat): Se $f: (a,b)\to R$ é função derivável em intervalo aberto e se $x_0 \in (a,b)$ é ponto de Mínimo ou de Máximo Local, então \[f^{\prime}(x_0) = 0\]

Definição: Seja $f(x)$ função derivável. Um ponto $x_0$ onde $f^{\prime}(x_0) = 0 $ é chamado de ponto crítico da função $f(x)$.


A recíproca dessa Afirmação (Teorema de Fermat) em geral é falsa: por exemplo, $f(x)= x^3$ tem $f^{\prime} (0) =0$ e no entanto $x_0= 0$ não é nem mínimo nem máximo local. Ou seja, é bom lembrar o seguinte:
Alerta: Nem sempre um ponto crítico é um ponto de Máximo ou de Mínimo de $f(x)$.

Vimos na Seção Sinal da derivada e o crescimento de funções um critério (da Primeira Derivada) para garantir que um ponto seja Máximo ou Mínimo Local.
No parágrafo a seguir vamos apresentar outro critério, baseado na segunda derivada.