Implementação prática do Teorema de Green

Planímetro: Instrumento Mecânico para medir Áreas de regiões planas gerais


Na Seção Teorema de Green, Áreas e caracterização dos Campos Conservativos do plano vimos um argumento de Felix Klein para obter a importante fórmula a seguir:
Afirmação 1: Seja $U$ região plana que é o interior de uma curva fechada simples $\gamma$. Seja $Ar(U)$ sua Área. Então
\[Ar(U) = \int_\gamma \frac{x}{2} \, dy - \frac{y}{2 } \, dx \]
Mais concretamente, se $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, $t \in [a,b]$, for uma parametrização derivável da curva-fronteira $\gamma$, então
\[ Ar(U) = \frac{1}{2} \cdot \int_a^b [ x(t) \cdot y^{\prime}(t) - y(t) \cdot x^{\prime}(t) ] \, dt \]

A segunda fórmula deixa ainda mais claro que
Teoricamente, a Área de $U$ pode ser calculada apenas com uma informação coletada ao longo de sua curva-fonteira $\gamma$.

A questão que se coloca é a seguinte:
Questão prática: Será possível criar um instrumento mecânico que meça a Área de uma região $U$ do plano, apenas percorrendo a curva-fronteira de $U$ ?

Ao longo da história, diversas soluções foram dadas para essa questão (cf. Referência T. Leise ao final da Seção), pois era uma questão importante para engenheiros civis, cartógrafos, biólogos, entre outros.
Nesta Seção vamos explicar a construção de um tal instrumento, chamado de planímetro.

Através de Interações e um vídeo mostraremos o funcionamento de um planímetro. E em seguida justificaremos a matemática subjacente ao planímetro, ou seja, explicaremos por que funciona como medidor de Áreas.