Outro ponto de vista sobre os sólidos de revolução

Volume de Sólido de Revolução segundo Pappus



Existem duas versões do Teorema de Pappus; esta é a versão sobre Volumes. A versão sobre Áreas será estudada na Seção Áreas de Gráficos, de Superfícies Parametrizadas e de Revolução do Curso Cálculo Vetorial Integral e Aplicações.

A primeira descrição dos sólidos de revolução foi dada na Seção Volume por Fatiamento ou por Revolução do Curso Cálculo Integral em uma variável.
Naquela Seção calculamos os volumes desses sólidos através de infinitos fatiamentos em discos.
Agora vamos apresentar outro ponto de vista, que remonta a Pappus e Guldinus.
Vamos mostrar como o volume do sólido de revolução $R$ depende da área de uma região plana $U$ e do comprimento da trajetória circular de um certo ponto $P$, ao longo da revolução de $U$ que produz $R$.

Questão: Qual ponto $P $ deve ser considerado ? Esse ponto sempre está em $U$ ?

No caso em que a região $U$ é um retângulo no plano $(x,0,z)$, de altura $h$ e lado de largura $d$ (ao longo do eixo $x$), a resposta é simples: qualquer ponto $P$ do retângulo que esteja à altura $\frac{h}{2}$ pode ser escolhido.

A Interação a seguir mostra a formação do cilindro de revolução de um retângulo:

Mas no caso em que a região $U$ no plano $(x,0,z)$ fica acima do eixo dos $x$ e abaixo do gráfico parábola
\[z = 1 + x^2,\quad x \in [-1,1]\]
já não fica claro qual a altura do ponto $P$ que deveríamos escolher.
A Interação mostra a superfície de revolução dessa parábola:

Veremos no próximo parágrafo que altura do ponto $P$ tem que ser a altura do chamado centróide da região $U$.