Comprimento de Gráficos segundo Arquimedes

Comprimento de curvas, Integrais de Linha e Massa


Um longo fio de arame é um exemplo do dia-a-dia de material não-elástico e essencialmente unidimensional.
Para medir o comprimento do arame, o que fazemos é desentortá-lo, ou seja, torná-lo um segmento de reta, e assim medi-lo.
Do ponto de vista matemático, significa que nosso ponto de partida é o comprimento de segmentos de reta e que, a partir dessa noção, definiremos o comprimento de um gráfico\[y = f(x),\quad x\in [a,b]\]ou de uma curva \[\gamma(t) = (\, x(t)\, , \, y(t)\, ),\quad t\in [a,b]\] (onde supomos que as funções usadas nas coordenadas sejam suficientemente regulares).
A idéia que remonta a Arquimedes consiste em definir o comprimento exato do gráfico (ou curva) como limite dos comprimentos de poligonais (uniões de segmentos) inscritas no gráfico (ou curva).

No caso do gráfico\[ y = f(x),\quad x\in [a,b], \]o intervalo $[a,b]$ é dividido em $n$ sub-intervalos\[[a,b] = [a , x_1] \cup [x_1,x_2]\cup \ldots \cup [ x_{n},b] \]e o comprimento $s_n(f)$ da poligonal inscrita no gráfico é definida como soma dos comprimentos dos segmentos ligando dois pontos sucessivos do gráfico, ou seja: \[{\scriptsize s_n(f) := \sqrt{ (x_1-a)^2 + (f(x_1)- f(a))^2 }+ \ldots +\sqrt{ (x_n-b)^2 + (f(x_n)- f(b))^2 }} \]

A Interação a seguir traça poligonais inscritas e dá o comprimento de cada poligonal:

Definição (Comprimento via poligonais inscritas) O comprimento exato do gráfico é o limite \[L = \lim_{n\to +\infty} \, s_n(f),\] onde o tamanho do maior sub-intervalo das partições tende a zero.

É natural colocarmos as seguintes questões:
Questão 1: Será que o limite dos comprimentos das poligonais inscritas
\[L = \lim_{n\to +\infty} \, s_n(f)\]
está bem definido, de modo a não depender de escolhas particulares (pontos escolhidos na partição, etc) ?

Questão 2: Supondo que o limite esteja bem definido, como calcular o valor exato
\[L = \lim_{n\to +\infty} \, s_n(f)\quad\mbox{?}\]

Questão 3: Não fica claro qual a expressão exata do comprimento, segundo esse processo limite. Pois o processo produz somas cada vez com mais parcelas, até uma soma infinita, cujo valor exato nao é fácil de determinar

A noção de Integral, do Cálculo, vai fornecer outra forma de calcular o valor exato do comprimento.