Colagens de gráficos e funções surpreendentes

Dois Exemplos notáveis de funções e suas séries (Cauchy e Weierstrass)


Em diversos contextos, desde a Matemática Pura até a Computação Gráfica, torna-se importante colar pedaços de gráficos distintos para formar um único gráfico.
Se a colagem não for cuidadosa, no ponto onde se unem os dois gráficos pode formar-se uma "quina".
A Interação a seguir mostra uma quina na união de dois gráficos que, separadamente, são suaves:

Se a colagem for mais cuidadosa, pode-se obter um gráfico-união que seja suave.
A Interação a seguir mostra um exemplo:

A suavidade (ausência de quina) em um ponto de colagem é obtida quando o gráfico-união corresponde a uma função com derivada no ponto.

Nesta Seção vamos fazer analisar colagens para saber se, no ponto de união, há não apenas a derivada, mas a segunda derivada, a terceira derivada, etc. Serão chamadas de colagens de ordem $1$, $2$, $3$, etc. No exemplo default acima, não há segunda derivada em $x=0$; ou seja, a colagem tem apenas ordem $1$.
Veremos um surpreendente exemplo de Cauchy em que há colagem de ordem infinita entre um gráfico horizontal (função nula) e outro não-nulo. Ou seja, no ponto de colagem todas as derivadas são nulas !

Também nesta seção veremos uma surpreendente construção (de Weiestrass e Takagi) de uma função contínua sem derivada em nenhum ponto. Ou seja, como se fosse um serrote em que cada ponto tem um dente !