Expressões efetivas para as funções do Cálculo

Expansões de Funções do Cálculo em Séries Infinitas de Potências


Até alguns atrás havia uma grande diferença no preço das calculadoras comerciais (com as quatro operações e porcentagens) em comparação com o preço das calculadoras científicas (com raiz quadrada, exponencial, logaritmo, senos, cosseno, arcotangente, etc).
Hoje em dia a calculadora do celular já traz todas essas funções, porém persiste uma diferença conceitual entre as operações elementares da calculadora comercial e as ditas operações científicas.
O objetivo desta Seção (e também o da Seção Polinômios e séries de Taylor em uma variável) é mostrar que:
As funções científicas da calculadora (raiz quadrada, exponencial, logaritmo, arcotangente, etc) podem ser reduzidas à realização de funções elementares, repetidamente.

Quanto mais etapas de operações elementares fizermos, melhor a aproximação da operação científica. No limite, ou seja, fazendo uma infinidade de vezes a operação elementar, obteríamos a operação científica exata.

Essa passagem, da soma finita para a soma infinita, corresponde a uma expansão da função científica em um série infinita de potências, no sentido da Seção anterior Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências.
Interações desta Seção produzirão expansões de funções em somas simbólicas infinitas, como por exemplo:
\[\frac{1}{1- x} = \sum_{i=0}^{+\infty} x^i\]

Duas funções do Cálculo que foram essenciais no desenvolvimento da Ciência Moderna e nas aplicações, o logaritmo natural e a função arcotangente
\[ \ln(x)\quad \mbox{e}\quad \arctan(x)\]

serão estudadas em detalhe nesta Seção.