Integrais Triplas e Hiper-Volumes no espaço de dimensão quatro

Hiper-Volumes no espaço quatro dimensional


O gráfico de uma uma função de duas variáveis forma uma superfície bidimensional no espaço:\[z = f(x,y)\quad \mbox{ou}\quad z = f(r,\theta)\](em coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ ou cilíndricas $(r,\theta,z)$).
As Integrais Duplas de funções não-negativas
\[\iint_U \,f(x,y) \, dxdy \quad\mbox{ou}\quad\iint_U \,f(r,\theta) \,r\, dr d\theta \]
representam o Volume da região do espaço acima do plano $z=0$ e sob o gráfico dessas funções, cf. Seção Área de regiões do plano, Integral dupla e Volume sob um gráfico.
Analogamente, o gráfico de uma função de três variáveis
\[w = f(x,y,z)\quad \mbox{ou}\quad w = f(r,\theta,z)\quad\mbox{ou} \quad w= f(\rho, \phi, \theta)\]
(em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas) pode ser pensado como um objeto tridimensional no espaço de quatro dimensões.
Naturalmente surge uma pergunta sobre o que significam as Integrais Triplas (introduzidas e calculadas nas Seções Volume de regiões do Espaço e Integrais Triplas e Teorema de Fubini e Integrais Triplas ):
Questão: Será possível interpretar Integrais Triplas de funções não-negativas como
\[\small{\iiint_U f(x,y,z)\, dxdydz\quad \mbox{ou}\quad \iiint_U f( r, \theta,z) \, r dz dr d\theta}\]
\[\small{\mbox{ou}\, \iiint_U \, f(\rho, \phi,\theta)\, \rho^2 \sin(\phi) d\rho d\phi d\theta}\] como generalizações da noção de Volume, para regiões do Espaço de dimensão $4$ ?

Veremos nesta Seção que sim, que essa interpretação existe. E ainda calcularemos os chamados Hiper-Volumes quatrodimensionais de algumas regiões básicas.
As regiões quatro dimensionais serão entendidas indiretamente, a partir de suas projeções no espaço tridimensional.